Question

（本小題滿分12分）一種藥在病人血液中的含量不低于2克時，它才能起到有效治療的作用．已知每服用（且）個單位的藥劑，藥劑在血液中的含量（克）隨著時間（小時）變化的函數關系式近似為，其中

（Ⅰ）若病人一次服用3個單位的藥劑，則有效治療時間可達多少小時？

（Ⅱ）若病人第一次服用2個單位的藥劑，6個小時后再服用個單位的藥劑，要使接下來的2小時中能夠持續有效治療，試求的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）; （Ⅱ）

【解析】

試題分析：（I）因為，所以根據分段函數解不等式即可求出結果;（Ⅱ）當時，， 因為對恒成立，

利用分離參數法，即對恒成立，等價于，利用二次函數的性質即可求出結果. 解法二：（Ⅰ）同解法一；（Ⅱ）當時，， 注意到及（且）均關于在上單調遞減，則關于在上單調遞減，根據函數的單調性，解不等式即可求出結果.

試題解析：【解析】
（I）因為，所以． 1分

當時，由，解得，此時； 3分

當時，由，解得，此時． 5分

綜上所述，．

故若一次服用3個單位的藥劑，則有效治療的時間可達小時． 6分

（Ⅱ）當時，， 8分

因為對恒成立，

即對恒成立，

等價于，． 9分

令，則函數在是單調遞增函數， 10分

當時，函數取得最大值為， 11分

所以，所以所求的的最小值為． 12分

解法二：（Ⅰ）同解法一；

（Ⅱ）當時，， 8分

注意到及（且）均關于在上單調遞減，

則關于在上單調遞減， 10分

故，由，得， 11分

所以所求的的最小值為． 12分.

考點： 1.分段函數模型的應用問題；2.一元二次函數的最值；3.解不等式等.