Question

已知拋物線y²=4ax（a＞0）的焦點為A，以B（a+4，0）為圓心，|BA|為半徑，在x軸上方畫半圓，設拋物線與半圓交于不同兩點M、N，P為線段MN的中點．求|AM|+|AN|的值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系

專題：計算題,作圖題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：由題意作圖，則A（a，0），從而得到圓的方程，與拋物線y²=4ax（a＞0）聯立可得x₁+x₂=-（2a-8）=8-2a，再由拋物線的定義求值．

解答： 解：如右圖，A（a，0）；
則圓的方程為（x-a-4）²+y²=16，
與拋物線y²=4ax（a＞0）聯立可得，
（x-a-4）²+4ax=16，
化簡得，x²+（2a-8）x+a²+8a=0；
故x₁+x₂=-（2a-8）=8-2a；
故|AM|+|AN|=x₁+a+x₂+a
=8．

點評：本題考查了學生的作圖能力及圓錐曲線的定義的應用，屬于中檔題．