Question

已知函數y=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

)的圖象的一個最高點為（3，4）由這個最高點到相鄰最低點，圖象與x軸交于（7，0）點．
（1）試求函數的解析式．
（2）作出這個函數在一個周期內的圖象
（3）求函數的最小正周期，并寫出函數圖象的對稱軸以及對稱中心．

Answer 1

考點：五點法作函數y=Asin（ωx+φ）的圖象

專題：函數的性質及應用,三角函數的圖像與性質

分析：（1）由已知中函數圖象的最高點坐標及與x軸的坐標，先確定A值及周期，進而可得ω值和φ值，進而可得函數的解析式；
（2）根據（1）中函數的解析式，描出函數圖象上幾個關鍵點的坐標，進而可得函數在一個周期上的草圖；
（3）根據（1）中函數的解析式，及正弦型函數的圖象和性質，可得函數圖象的對稱軸以及對稱中心．

解答：解：（1）由圖象最高點（3，4）知A=4．
又由題意知從最高點到相鄰最低點相交x軸于（7，0），
∴

T

4

=7-3=4，
即T=16．
∴ω=

2π

T

=

π

8

．
∴y=4sin（

π

8

x+φ）…（2分）
代入最高點坐標，得4=4sin(

π

8

×3+φ)sin(

3π

8

+φ)=1，
即

3π

8

+φ=2kπ+

π

2

，k∈Z，
∵|φ|＜

π

2

，
∴φ=

π

8

，…（8分）
∴函數解析式為y=4sin(

πx

8

+

π

8

)．…（4分）
（2）函數在一個周期內的圖象如下圖所示：
..（8分）

（3）由（1）知y=f(x)=4sin(

πx

8

+

π

8

)，
f(x+16)=4sin(

π(x+16)

8

+

π

8

)=4sin[(

πx

8

+

π

8

)+2π]=4sin(

πx

8

+

π

8

)=f(x)
∴函數f（x）的最小正周期為16，…（10分）
∴函數圖象的對稱軸方程為：x=8k+3，k∈Z．
對稱中心為：（8k-1，0），k∈Z．…（12分）

點評：本題考查的知識點是五點法作函數y=Asin（ωx+φ）的圖象，正弦型函數的圖象和性質，降次公式和輔導角公式（和差角公式），熟練掌握正弦形函數的圖象和性質，是解答的關鍵．