Question

4．如圖，四棱錐B-ACDE的底面ACDE滿足 DE∥AC，AC=2DE．
（Ⅰ）若DC⊥平面ABC，AB⊥BC，求證：平面ABE⊥平面BCD；
（Ⅱ）求證：在平面ABE內不存在直線與DC平行；
某同學用分析法證明第（1）問，用反證法證明第 （2）問，證明過程如下，請你在橫線上填上合適的內容．
（Ⅰ）證明：欲證平面ABE⊥平面BCD，
只需證AB⊥平面BCD，
由已知AB⊥BC，只需證AB⊥DC，
由已知DC⊥平面ABC可得DC⊥AB成立，
所以平面ABE⊥平面BCD．
（Ⅱ）證明：假設在平面ABE內存在直線與DC平行，
又因為DC?平面ABE，所以DC∥平面ABE．
又因為平面ACDE∩平面ABE=AE，
所以DC∥AE，
又因為DE∥AC，所以ACDE是平行四邊形，
所以AC=DE，這與AC=2DE矛盾，
所以假設錯誤，原結論正確．

Answer 1

分析 用分析法證明第（Ⅰ）問，用反證法證明第 （Ⅱ）問，根據分析法、反證法的證明步驟，即可得出結論．

解答 （Ⅰ）證明：欲證平面ABE⊥平面BCD，
只需證AB⊥平面BCD，----------------------------------------------（2分）
由已知AB⊥BC，只需證AB⊥DC，-------------------------------------------------（4分）
由已知DC⊥平面ABC可得DC⊥AB成立，
所以平面ABE⊥平面BCD．
（Ⅱ）證明：假設在平面ABE內存在直線與DC平行，---------------------------------（6分）
又因為DC?平面ABE，所以DC∥平面ABE．
又因為平面ACDE∩平面ABE=AE，
所以DC∥AE，---------------------------------------（8分）
又因為DE∥AC，所以ACDE是平行四邊形，
所以AC=DE，這與AC=2DE矛盾，---------------------------------------------（10分）
所以假設錯誤，原結論正確．
故答案為AB⊥平面BCD；AB⊥DC；在平面ABE內存在直線與DC平行；DC∥AE；AC=2DE．

點評 本題考查分析法、反證法，考查學生分析解決問題的能力，正確運用分析法、反證法是關鍵．