Question

【題目】已知菱形，在軸上且， （，）．

（Ⅰ）求點軌跡的方程；

（Ⅱ）延長交軌跡于點，軌跡在點處的切線與直線交于點，試判斷以為圓心，線段為半徑的圓與直線的位置關系，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)（）；(Ⅱ)答案見解析.

【解析】試題分析：

（Ⅰ）由題意可知對角線與垂直平分，由題意結合垂直平分線的性質可得點到直線的距離與到點的距離相等，結合幾何關系可知點軌跡方程為（）.

（Ⅱ）設，，聯立直線AD是方程與拋物線方程可得,由題意結合韋達定理可得，，，利用導數研究切線方程可得在點處的切線方程為：，且直線的方程為，據此可得交點坐標，即，計算可得點到直線的距離，則圓與直線相切.

試題解析：

（Ⅰ）因為是菱形，所以對角線與垂直平分，

因為在軸上，所以與直線垂直，

所以點到直線的距離與到點的距離相等，

所以點軌跡為拋物線（不包含頂點），

其軌跡方程為（）.

（Ⅱ）設，，

設直線的方程為，聯立可得：

所以，．

因為菱形，所以，所以，

所以，所以，

所以，所以

由可得

所以在點處的切線方程的斜率為

則切線的方程為：，即……①

因為，，所以，

又中點，所以直線的方程為 ②

聯立①②可得，即點，又，所以

所以，點到直線的距離

所以圓與直線相切.