Question

【題目】已知函數對任意實數x、y恒有，當x>0時，f(x)<0，且.

(1)判斷的奇偶性；

(2)求在區間[-3,3]上的最大值；

(3)若對所有的恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）奇函數（2）6（3）或者

【解析】

（1）令x＝y＝0f（0）＝0，再令y＝﹣x，f（﹣x）＝﹣f（x）；

（2）設x1，x2∈R，且x1＜x2，結合條件用單調性的定義證明函數f（x）為R上的增函數，從而得到在區間[-3,3]上的最大值；

（3）根據函數f（x）≤m2﹣2am﹣2對所有的x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，說明f（x）的最大值2小于右邊，因此先將右邊看作a的函數，m為參數系數，解不等式組，即可得出m的取值范圍．

（1）取x=y=0，則f（0+0）=f（0）+f（0）；則f（0）=0；

取y=﹣x，則f(x﹣x)=f(x)+f(﹣x)，

∴f(﹣x)=﹣f(x)對任意x∈R恒成立

∴f(x)為奇函數；

（2）任取x1，x2∈（﹣∞，+∞）且x1＜x2，則x2﹣x1＞0；∴f（x2）+f(﹣x1）=f（x2﹣x1）＜0；

∴f（x2）＜﹣f（﹣x1），

又∵f（x）為奇函數，

∴f（x1）＞f（x2）；

∴f（x）在（﹣∞，+∞）上是減函數；

∴對任意x∈[﹣3，3]，恒有f（x）≤f（﹣3）

而f（3）=f（2+1）=f（2）+f（1）=3f（1）=﹣2×3=﹣6；

∴f（﹣3）=﹣f（3）=6；

∴f（x）在[﹣3，3]上的最大值為6；

（3）由（2）可知函數在的最大值為

所以要使對所有的恒成立

只需要

即對所有恒成立

令，則即解得

所以實數的取值范圍是