Question

【題目】已知橢圓：（）的左右焦點分別為，且關于直線的對稱點在直線上.

（1）求橢圓的離心率；

（2）若的長軸長為且斜率為的直線交橢圓于，兩點，問是否存在定點，使得，的斜率之和為定值？若存在，求出所有滿足條件的點坐標；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）;（2）滿足條件的定點是存在的，坐標為及

【解析】試題分析：（1）依題知,根據對稱求出點M,根據點在直線上，可得離心率；（2）由（1）可得橢圓方程為，設設直線方程為，聯立方程，根據根與系數的關系可得，，設，可得 ，化簡整理即可.

試題解析：

（1）依題知，設，則且，解得，即

∵在直線上，∴，，∴

（2）由（1）及題設得：且，∴，，∴橢圓方程為

設直線方程為，代入橢圓方程消去整理得.依題，即

設，，則，

如果存在使得為定值，那么的取值將與無關

，令

則為關于的恒等式

∴，解得或

綜上可知，滿足條件的定點是存在的，坐標為及