Question

在一個以AB為弦的弓形中，C為

AH

的中點，自A、B分別作弧AB的切線，交于D點，設x為弦AB所對的圓心角，求

lim

x→0

S△ABC

S△ABD

．

Answer 1

分析：解此題的關鍵是用x表示出S_△ABC和S_△ABD，由題意可利用關系S_△ABC=S_{四邊形AOBC}-S_△AOB，S_△ABD=S_{四邊形AOBD}-S_△AOB，分別表示出S_△ABC和S_△ABD，然后再化簡

lim

x→0

S△ABC

S△ABD

，利用極限的性質進行求解．

解答：解：設

AH

所在圓圓心為O，則C、D、O都在AB的中垂線上，
∴∠AOD=∠BOD=

x

2

．設OA=r．
S_△ABC=S_{四邊形AOBC}-S_△AOB=r²sin

x

2

-

1

2

r²sinx=r²sin

x

2

（1-cos

x

2

），
S_△ABD=S_{四邊形AOBD}-S_△AOB=r²tan

x

2

-

1

2

r²sinx=r²

sin3 x 2

cos x 2

．
∴

lim

x→0

S△ABC

S△ABD

=

lim

x→0

r2sin x 2 (1-cos x 2 )

r2sin3 x 2 cos x 2

=

lim

x→0

cos x 2

1+cos x 2

=

1

2

．

點評：此題主要考查極限極其運算，解題的關鍵是求出S_△ABC和S_△ABD，關于x的表達式，此題是一道不錯的題．