Question

5．已知二次函數f（x）=x²-2x+3
（Ⅰ）若函數$y=f（{log_3}x+m），x∈[\frac{1}{3}，3]$的最小值為3，求實數m的值；
（Ⅱ）若對任意互不相同的x₁，x₂∈（2，4），都有|f（x₁）-f（x₂）|＜k|x₁-x₂|成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）令t=log₃x，（-1≤t≤1），則y=（t+m-1）²+2，由題意可得最小值只能在端點處取得，分別求得m的值，加以檢驗即可得到所求值；
（Ⅱ）判斷f（x）在（2，4）遞增，設x₁＞x₂，則f（x₁）＞f（x₂），原不等式即為f（x₁）-f（x₂）＜k（x₁-x₂），即有f（x₁）-kx₁＜f（x₂）-kx₂，由題意可得g（x）=f（x）-kx在（2，4）遞減．由g（x）=x²-（2+k）x+3，求得對稱軸，由二次函數的單調區間，即可得到所求范圍

解答 解（Ⅰ）令t=log₃x+m，∵$x∈[\frac{1}{3}，3]$，∴t∈[m-1，m+1]，
從而y=f（t）=t²-2t+3=（t-1）²+2，t∈[m-1，m+1]
當m+1≤1，即m≤0時，${y_{min}}=f（m+1）={m^2}+2=3$，
解得m=-1或m=1（舍去），
當m-1＜1＜m+1，即0＜m＜2時，y_min=f（1）=2，不合題意，
當m-1≥1，即m≥2時，${y_{min}}=f（m-1）={m^2}-4m+6=3$，
解得m=3或m=1（舍去），
綜上得，m=-1或m=3，
（Ⅱ）不妨設x₁＜x₂，易知f（x）在（2，4）上是增函數，故f（x₁）＜f（x₂），
故|f（x₁）-f（x₂）|＜k|x₁-x₂|可化為f（x₂）-f（x₁）＜kx₂-kx₁，
即f（x₂）-kx₂＜f（x₁）-kx₁（*），
令g（x）=f（x）-kx，x∈（2，4），即g（x）=x²-（2+k）x+3，x∈（2，4），
則（*）式可化為g（x₂）＜g（x₁），即g（x）在（2，4）上是減函數，
故$\frac{2+k}{2}≥4$，得k≥6，
故k的取值范圍為[6，+∞）

點評 本題考查函數的最值的求法，注意運用換元法和二次函數的最值的求法，考查不等式恒成立問題的解法，注意運用構造法，屬于中檔題．