Question

【題目】設函數f（x）=|2x﹣1|
（1）解關于x的不等式f（2x）≤f（x+1）
（2）若實數a，b滿足a+b=2，求f（a2）+f（b2）的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：|4x﹣1|≤|2x+1|16x2﹣8x+1≤4x2+4x+112x2﹣12x≤0，

解得x∈[0，1]，故原不等式的解集為[0，1]

（2）解：f（a2）+f（b2）=|2a2﹣1|+|2b2﹣1|≥|2（a2+b2）﹣2|，

由柯西不等式：2（a2+b2）=（12+12）（a2+b2）≥（a+b）2=4．

從而2（a2+b2）﹣2≥2，即f（a2）+f（b2）≥2，取等條件為a=b=1．

故f（a2）+f（b2）的最小值為2

【解析】（1）去掉絕對值符號，轉化求解不等式即可．（2）利用已知條件化簡所求的表達式，通過柯西不等式求解即可．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用函數的最值及其幾何意義和絕對值不等式的解法的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（�。┲�；利用圖象求函數的最大（�。┲�；利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值；含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號．