Question

用三段論證明函數f(x)=x³+x在（-∞,+∞）上是增函數.

Answer 1

分析：本題考查函數的單調性證明.用定義或用導數都較容易.

證法一：由f′(x)=3x²+1,知當x∈（-∞,+∞）時，3x²+1＞0,

∴f′(x)＞0.故f(x)=x³+x在（-∞,+∞）上是增函數.

證法二：設x₁＜x₂,則x₂-x₁＞0.

f(x₂)-f(x₁)=(x₂³+x₂)-(x₁³+x₁)=(x₂³-x₁³)+(x₂-x₁)

=(x₂-x₁)(x₁²+x₁x₂+x₂²+1)

=(x₂-x₁)［(x₁+)²+x₂²+1］.

∵（x₁+）²+x₂²+1＞0,∴f(x₂)-f(x₁)＞0,即f(x₂)＞f(x₁).得f(x)=x³+x在（-∞,+∞）上是增函數.