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知圓C:(x-1)2+y2=2,過點A(-1,0)的直線l將圓C分成弧長之比為1:3的兩段圓弧,則直線l的方程為
3
3
x-y+
3
3
=0或
3
3
x+y+
3
3
=0
3
3
x-y+
3
3
=0或
3
3
x+y+
3
3
=0
分析:根據題意畫出相應的圖形,如圖所示,連接CE,CF,過C作CD垂直于EF于點D,由圓C的方程找出圓心C的坐標和半徑r,根據直線l將圓C分成弧長之比為1:3的兩段圓弧,根據弧與圓心角的關系得到∠ECF為周角的
1
4
,求出∠ECF為直角,又CE=CF,可得出三角形ECF為等腰直角三角形,由CE及CF的長,利用勾股定理求出EF的長,再利用垂徑定理得到D為EF中點,利用斜邊上的中線等于斜邊的一半求出CD的長,即為圓心距,設直線l的斜率為k,由A的坐標及k表示出直線l的方程,利用點到直線的距離公式表示出圓心C到直線l的距離d,讓d等于CD的長列出關于k的方程,求出方程的解得到k的值,進而確定出直線l的方程.
解答:解:根據題意畫出相應的圖形,如圖所示:

連接CE,CF,過C作CD⊥EF于點D,
由圓的方程(x-1)2+y2=2,得到圓心C(1,0),半徑r=
2

∵直線l將圓C分成弧長之比為1:3的兩段圓弧,
∴∠ECF=
1
4
×360°=90°,又EC=FC=
2

∴△CEF為等腰直角三角形,
∴EF=
CE2+CF2
=2,
∴CD=ED=FD=
1
2
EF=1,
設直線l的斜率為k,由A(-1,0),得到直線l方程為y=k(x+1),即kx-y+k=0,
∴圓心C到直線l的距離d=
|2k|
k2+1
=1,即k2=
1
3

解得:k=±
3
3

則直線l的方程為
3
3
x-y+
3
3
=0或
3
3
x+y+
3
3
=0.
故答案為:
3
3
x-y+
3
3
=0或
3
3
x+y+
3
3
=0
點評:此題考查了直線與圓相交的性質,涉及的知識有:圓的標準方程,垂徑定理,等腰直角三角形的判定與性質,直線的點斜式方程,點到直線的距離公式,勾股定理,以及弦、弧、圓心角之間的關系,利用了數形結合的思想,是一道綜合性較強的試題.
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=0
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