Question

已知圓C：（x-1）²+y²=1，過原點O作圓的任一弦，求弦的中點的軌跡方程．

Answer 1

分析：方法一：設出P（x，y）將位置關系CP⊥OQ轉化為內積為0，用坐標表示向量，整理即得軌跡方程．
方法二：注意到：∵∠OPC=90°，動點P在以M(

1

2

，0)為圓心，OC為直徑的圓上，故可以求出圓心與半徑，寫出圓的標準方程．
方法三：動弦PQ的方程為y=kx，與圓的方程聯立，利用中點坐標公式與根系關系求出中點坐標的用參數k表示的參數方程，消去參數k得到點P的軌跡方程．

解答：解：（一）直接法：設OQ為過O的任一條弦P（x，y）是其中點，圓心C（1，0）
則CP⊥OQ，則

CP

•

OQ

=0
∴（x-1，y）（x，y）=0，即(x-

1

2

)2+y2=

1

4

(0＜x≤1)
（二）定義法：∵∠OPC=90°，動點P在以M(

1

2

，0)為圓心，OC為直徑的圓上，
∴所求點的軌跡方程為(x-

1

2

)2+y2=

1

4

(0＜x≤1)
（三）參數法：設動弦PQ的方程為y=kx，由

y=kx (x-1)2+y2=1

得：（1+k²）x²-2x=0，設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
PQ的中點為（x，y），則：x=

x1+x2

2

=

1

1+k2

，y=kx=

k

1+k2

消去k得(x-

1

2

)2+y2=

1

4

(0＜x≤1)．

點評：考查求軌跡方程的方法，同一個位置關系，因為著手的角度的不同，轉化出了三個不同的方向，請讀者認真體會這三種情況的同與不同．