Question

已知圓C：（x+1）²+y²=8．
（1）設點Q（x，y）是圓C上一點，求x+y的取值范圍；
（2）如圖，定點A（1，0），M為圓C上一動點，點P在AM上，點N在CM上，且滿足

AM

=2

AP

，

NP

•

AM

=0，求點N的軌跡的內接矩形的最大面積．

Answer 1

分析：（1）由已知中圓C：（x+1）²+y²=8，我們易求出圓的參數方程

x=-1+2 2 cosα y=2 2 sinα

α∈[0，2π），將問題轉化為三角函數值域問題，利用輔助角公式，及正弦型函數的性質，易得到答案．
（2）由

AM

=2

AP

，

NP

•

AM

=0，易得NP為AM的垂直平分線，則|CN|+|AN|=2

2

＞2．則動點N的軌跡是以點C（-1，0），A（1，0）為焦點的橢圓，且橢圓長軸長為2a=2

2

，焦距2c=2．由此可以得到N的軌跡方程，進而得到內接矩形的面積的最大值，由此即可得到答案．

解答：解：（1）∵點在圓C上，

∴可設

x=-1+2 2 cosα y=2 2 sinα

α∈[0，2π）；（2分）
x+y=-1+2

2

(cosα+sinα)=-1+4sin(α+

π

4

)，（4分）
從而x+y∈[-5，3]．（6分）
（2）∵

AM

=2

AP

，

NP

•

AM

=0．
∴NP為AM的垂直平分線，
∴|NA|=|NM|．（8分）
又∵|CN|+|NM|=2

2

，∴|CN|+|AN|=2

2

＞2．
∴動點N的軌跡是以點C（-1，0），A（1，0）為焦點的橢圓．（10分）
且橢圓長軸長為2a=2

2

，焦距2c=2．
∴a=

2

，c=1，b2=1．
∴點N的軌跡是方程為

x2

2

+y2=1．（12分）
所以N為橢圓，其內接矩形的最大面積為2

2

．（14分）

點評：本題考查的知識點是圓方程的綜合應用，在求x+y的取值范圍時，利用參數方程可以大大簡化解題的難度．