Question

動點P在平面區域C₁：x²+y²≤2（|x|+|y|）內，動點Q在曲線C₂：（x-4）²+（y-4）²=1上，則|PQ|的最小值為

2

2

-1

．

Answer 1

分析：由x²+y²≤2（|x|+|y|）可得：（|x|-1）²+（|y|-1）²≤2；又動點Q在曲線C₂：（x-4）²+（y-4）²=1上，由題意可知，|C₁C₂|減去兩圓的半徑即為|PQ|的最小值．

解答：解：∵x²+y²≤2（|x|+|y|），即（|x|-1）²+（|y|-1）²≤2；
①若x＞0，y＞0，則（x-1）²+（y-1）²≤2；動點P在以C₁₁（1，1）為圓心，

2

為半徑圓面內（第一象限）；
②若x＞0，y＜0，（則x-1）²+（y+1）²≤2；動點P在以C₁₄（1，-1）為圓心，

2

為半徑圓面內；（第四象限）；
③若x＜0，y＞0，則（x+1）²+（y-1）²≤2；動點P在以C₁₂（-1，1）為圓心，

2

為半徑圓面內；（第二象限）；
④若x＜0，y＜0，則（x+1）²+（y+1）²≤2；動點P在以C₁₃（-1，-1）為圓心，

2

為半徑圓面內；（第三象限）；
即動點P在上述四個花瓣的圖形上；
∴又動點Q在曲線C₂：（x-4）²+（y-4）²=1上，即曲線C₂是以C₂（4，4）為圓心，1為半徑的圓；
由圖形可知，當點P在以C₁₁（1，1）為圓心，

2

為半徑圓面內（第一象限）時，|PQ|才能取到最小值．
∴兩圓心之間的距離|C₁₁C₂|=

(4-1)2+(4-1)2

=3

2

＞

2

+1，
∴圓面C₁₁與圓C₂相離，
∴|PQ|的最小值為|C₁₁C₂|減去兩圓的半徑之和（1+

2

），即|PQ|min=2

2

-1；
故答案為：2

2

-1．

點評：本題考查圓與圓的位置關系及其判定，關鍵在于將x²+y²≤2（|x|+|y|）轉化為（|x|-1）²+（|y|-1）²≤2；從而數形結合，分類討論解決問題，屬于難題．