Question

根據以下數列{A_n}的通項公式，推導該數列的前n項和S_n．（要有詳細過程）
①a_n=n²②a_n=n³．

Answer 1

考點：數學歸納法,數列的求和

專題：等差數列與等比數列

分析：①下面利用“累加求和”推導①的前n項和公式．由于n³-（n-1）³=3n²-3n+1，可得3（1²+2²+…+n²）-3（1+2+…+n）+n=n³，即3S_n=n3+

3n(n+1)

2

-n即可得出．
②推導an=n3的前n項和S_n=[

n(n+1)

2

]2．由于a₁=S₁=1³=1²，S₂=a₁+a₂=1³+2³=9=3²=（1+2）²．S₃=a₁+a₂+a₃=1³+2³+3³=36=（1+2+3）²，猜想：S_n=（1+2+…+n）²=[

n(n+1)

2

]2．利用數學歸納法證明即可．

解答： 解：①下面利用“累加求和”推導①的前n項和公式．
∵n³-（n-1）³=3n²-3n+1，
∴3（1²+2²+…+n²）-3（1+2+…+n）+n=n³，
∴3S_n=n3+

3n(n+1)

2

-n=

n(n+1)(2n+1)

2

．
∴S_n=

n(n+1)(2n+1)

6

．：
②推導an=n3的前n項和S_n=[

n(n+1)

2

]2．
∵a₁=S₁=1³=1²，S₂=a₁+a₂=1³+2³=9=3²=（1+2）²．
S₃=a₁+a₂+a₃=1³+2³+3³=36=（1+2+3）²，
猜想：S_n=（1+2+…+n）²=[

n(n+1)

2

]2．
下面利用數學歸納法證明：
（1）當n=1時，顯然成立；
（2）假設當n=k（k∈N^*）時，S_k=[

k(k+1)

2

]2，
則當n=k+1時，S_k+1=S_k+a_k+1=[

k(k+1)

2

]2+（k+1）³=(k+1)2(

k2

4

+k+1)=(k+1)2•

(k+2)2

4

=[

(k+1)(k+1+1)

2

]2．
因此當n=k+1時，等式成立．
綜上可得：等式對于?n∈N^*都成立．

點評：本題考查了“累加求和”方法、等差數列的前n項和公式、數學歸納法，考查了猜想歸納推理證明的能力，考查了計算能力，屬于難題．