Question

已知不等式（x+y）（

1

x

+

a

y

）≥9對任意正實數x，y恒成立，則正實數a的最小值為

 

．

Answer 1

分析：先將不等式恒成立轉化為左邊函數的最小值大于等于9恒成立；將不等式的左邊展開，利用基本不等式求出最小值，令最小值大于等于9，解不等式求出a的范圍，求出a的最小值．

解答：解：∵(x+y)(

1

x

+

a

y

)≥9對任意正實數x，y恒成立
∵(x+y)(

1

x

+

a

y

)=1+a+

ax

y

+

y

x

≥1+a+2

a

∴1+a+2

a

≥9
解得a≥4
故答案為：4

點評：本題考查解決不等式恒成立問題常轉化為函數的最值問題、考查利用基本不等式求函數的最值．