Question

【題目】已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，并且，，數(shù)列滿足：，，記數(shù)列的前項(xiàng)和為．

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式；

（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式；

（3）記集合，若的子集個數(shù)為16，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

試題（1）數(shù)列是等差數(shù)列，可把已知用表示出來，列出方程組，解出，從而得到通項(xiàng)公式和膠項(xiàng)和；（2）由已知得，這是數(shù)列前后項(xiàng)的比值，因此可用連乘法求得通項(xiàng)，即，從而有，它可看作是一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的乘積，因此其前項(xiàng)和用乘公比錯位相減法求得；（3）由（1）（2）求得，不等式恒成立，即恒成立，只要求得的最小值即可，先求出前面幾項(xiàng)，觀察歸納猜想出單調(diào)性并給出證明（可用證明數(shù)列的單調(diào)性），從而可求得最小值，得范圍．

試題解析：（1）設(shè)數(shù)列的公差為，由題意得

（2）由題意得

疊乘得

由題意得①

②

②-①得：

（3）由上面可得令

則

下面研究數(shù)列的單調(diào)性，

時(shí)，即單調(diào)遞減.

所以不等式解的個數(shù)為4，.