Question

已知邊長為的正方形ABCD沿對角線AC折成直二面角，使D到P的位置．
（1）求直線PA與BC所成的角；
（2）若M為線段BC上的動點，當BM：BC為何值時，平面PAC與平面PAM所成的銳二面角為45°．

Answer 1

【答案】分析：（1）取AC中點O，連接PO、OB，以O為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，轉化為向量與的夾角求解，注意與直線所成角的關系；
（2）設BM：BC=λ：1（0≤λ＜1），則=（-λ，λ，0）），=（1，1，0）+（-λ，λ，0）=（1-λ，1+λ，0），可求平面PAM的一個法向量，易知平面PAC的一個法向量為=（1，0，0），
由題意知，|cos＜，＞|=，利用向量夾角公式可得關于λ的方程，解出即可；
解答：解：（1）取AC中點O，連接PO、OB，以O為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，
則P（0，0，1），A（（0，-1，0），B（1，0，0），C（0，1，0），
=（0，-1，-1），=（-1，1，0），
cos＜，＞===-，
所以＜，＞=120°，直線PA與BC所成的角為60°；
（2）設BM：BC=λ：1（0≤λ＜1），則=（-λ，λ，0），=（1，1，0）+（-λ，λ，0）=（1-λ，1+λ，0），
設為平面PAM的一個法向量，則，，
所以，即，取，
平面PAC的一個法向量為=（1，0，0），
當平面PAC與平面PAM所成的銳二面角為45°時，有|cos＜，＞|=，即=，
解得，
故當BM：BC為3-2時，平面PAC與平面PAM所成的銳二面角為45°．
點評：本題考查二面角的平面角及其求法、異面直線所成角，考查空間向量的運算，考查學生的推理論證能力．