Question

3．已知定義在R上的奇函數f（x）滿足f（x）=x²-2x-3（x＞0）．
（Ⅰ） 若函數g（x）=|f（x）|-a有4個零點，求實數a的取值范圍；
（Ⅱ） 求|f（x+1）|≤4的解集．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用f（x）是定義在R上的奇函數，求出函數的解析式，畫出函數y=f（x）與y=|f（x）|的圖象，利用函數g（x）=|f（x）|-a有4個零點，轉化為函數y=|f（x）|與函數y=a的圖象有4個交點．推出實數a的取值范圍即可．
（Ⅱ）令f（x）=4得，$x=2\sqrt{2}+1$或-1，利用函數f（x）是定義在R上的奇函數，結合圖象，求解即可．

解答 （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）因為f（x）是定義在R上的奇函數，且f（x）=x²-2x-3（x＞0），
則$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}-2x-3，（x＞0）\\ 0，（x=0）\\-{x^2}-2x+3，（x＜0）\end{array}\right.$．…（2分）
從而可得函數y=f（x）與y=|f（x）|的圖象分別如下圖所示．…（4分）


因為函數g（x）=|f（x）|-a有4個零點，
則題設可等價轉化為函數y=|f（x）|與函數y=a的圖象有4個交點．…（5分）
由右上圖可知，a=4或0＜a≤3，…（6分）
即：當a=4或0＜a≤3時，函數g（x）=|f（x）|-a有4個零點．…（7分）
（Ⅱ）令f（x）=4得，$x=2\sqrt{2}+1$或-1，…（8分）
因為f（x）是定義在R上的奇函數，當f（x）=-4時，解得$x=-2\sqrt{2}-1$或1…（9分）
結合左上圖可知，$|{f（x+1）}|≤4?-2\sqrt{2}-1≤x+1≤2\sqrt{2}+1$，…（10分）
即：$-2\sqrt{2}-2≤x≤2\sqrt{2}$．…（11分）
所以所求解集為$[-2\sqrt{2}-2，2\sqrt{2}]$．             …（12分）

點評 本題考查函數與方程的應用，函數的圖象的應用，考查數形結合思想以及轉化思想的應用，考查計算能力．