Question

設函數f（x）=（x+1）lnx-2x
（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）設h（x）=f′（x）+

1

ex

，若h（x）＞k（k∈z）恒成立，求k的最大值．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,利用導數求閉區間上函數的最值

專題：計算題,函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：（1）先求出函數的定義域（0，+∞），再求導f′（x）=lnx+

1

x

-1，f″（x）=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

；從而判斷函數的單調區間；
（2）化簡h（x）=lnx+

1

x

-1+

1

ex

，再求導h′（x）=

1

x

-

1

x2

-

1

ex

=

xex-ex-x2

x2ex

，再設設g（x）=xe^x-e^x-x²，g′（x）=x（e^x-2），從而確定函數單調性，化恒成立問題為最值問題，從而求解．

解答： 解：（1）函數的定義域（0，+∞），
f′（x）=lnx+

1

x

-1，f″（x）=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

；
當x＞1時，f″（x）＞0，函數f′（x）遞增，
當0＜x＜1時，f″（x）＜0，函數f′（x）遞減，
故f′（x）≥f′（1）=0，
故函數f（x）在（0，+∞）上遞增；
（2）h（x）=lnx+

1

x

-1+

1

ex

，
h′（x）=

1

x

-

1

x2

-

1

ex

=

xex-ex-x2

x2ex

，
設g（x）=xe^x-e^x-x²，g′（x）=x（e^x-2），
x∈（0，ln2）時，g′（x）＜0，g（x）單調遞減，
g（x）＜g（0）=-1＜0；故h′（x）＜0，
故h（x）單調遞減；
x∈（ln2，+∞）時，g′（x）＞0，g（x）單調遞增，
g（x）＞2ln2-2-（ln2）²，
又g（1）=-1＜0，g（2）=e²-4＞0；
故存在x₀∈（1，2），使得g（x₀）=0；
在（0，x₀）上，g（x）＜0，在（x₀，+∞）上，g（x）＞0；
h（x）在（0，x₀）上遞減，在（x₀，+∞）上遞增；
h（x）≥h（x₀）=lnx₀+

1

x0

-1+

1

ex0

；
又

1

ex0

=

1

x0

-

1

x 2 0

，
所以h（x）≥h（x₀）=lnx₀+

1

x0

-1+

1

ex0

=lnx₀+

1

x0

+

1

x0

-

1

x 2 0

-1=lnx₀+

2

x0

-

1

x 2 0

-1，
不妨令M（x）=lnx+

2

x

-

1

x2

-1，
當x∈（1，2）時，M′（x）=

1

x

-

2

x2

+

2

x3

=

1

x

（1-

2

x

+

2

x2

）＞0；
M（x）是單增函數，又M（1）=0，M（2）=ln2-

1

4

＜1；
故1＞h（x₀）=lnx₀+

2

x0

-

1

x 2 0

-1＞0，
所以k≤0，所以k的最大值為0．

點評：本題考查了導數的綜合應用及恒成立問題，屬于中檔題．