Question

已知F₁，F₂分別是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，P是以F₁F₂為直徑的圓與該雙曲線的一個交點，且∠PF₁F₂=2∠PF₂F₁，則這個雙曲線的離心率是（　　）

• A、

  3 +2

  2

• B、

  3

  +2
• C、

  3

  +1
• D、

  3 +1

  2

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：先設|F₁F₂|=2c，由題意知△F₁F₂P是直角三角形，利用∠PF₁F₂=60°，求出|PF₁|、|PF₂|，根據雙曲線的定義求得a，c之間的關系，則雙曲線的離心率可得．

解答： 解：設|F₁F₂|=2c，
由于P是以F₁F₂為直徑的圓與該雙曲線的一個交點
則△F₁F₂P是直角三角形，∠F₁PF₂=90°，
由∠PF₁F₂=2∠PF₂F₁，則∠PF₁F₂=60°，
∴|PF₂|=

3

c，|PF₁|=c，
∴|PF₂|-|PF₁|=

3

c-c=2a，
∴e=

c

a

=

2

3 -1

=

3

+1．
故選：C．

點評：本題主要考查了雙曲線的方程、定義和簡單性質．考查了解直角三角形的知識，考查運算能力，屬于中檔題．