Question

（本小題滿分14分）已知二次函數（為常數，）的一個零點是.函數，設函數.

（1）求的值，當時，求函數的單調增區間；

（2）當時，求函數在區間上的最小值；

（3）記函數圖象為曲線C，設點是曲線C上不同的兩點，點M為線段AB的中點，過點M作軸的垂線交曲線C于點N.判斷曲線C在點N處的切線是否平行于直線AB？并說明理由.

Answer 1

（1）,;

（2）;

（3）曲線在點處的切線不平行于直線

【解析】

試題分析：（1）根據,可得.所以.求導,討論導數的符號,導數大于0得增區間,導數小于0得減區間. （2）討論兩根的大小,在討論的符號得其單調區間,根據單調區間可得其最值.（3）設，則點的橫坐標為.由斜率公式可得直線斜率.根據導數的幾何意義可知在點處的切線的斜率.假設曲線在點處的切線平行于直線，則.即，所以 ，不妨設，，則，令，判斷等于0是否有解.

試題解析：（1）由是函數的零點可求得.

，

因為，，所以，解，得，

所以的單調增區間為 4分

（2）當時，由，得，，

①當，即時，在上是減函數，

所以在上的最小值為.

②當，即時，

在上是減函數，在上是增函數，

所以的最小值為.

③當，即時，在上是增函數，

所以的最小值為.

綜上，函數在上的最小值， 8分

（3）設，則點的橫坐標為，

直線的斜率

，

曲線在點處的切線斜率

，

假設曲線在點處的切線平行于直線，則，

即，

所以 ，不妨設，，則，

令，，

所以在上是增函數，又，所以，即不成立，

所以曲線在點處的切線不平行于直線. 14分

考點：用導數研究函數的性質.