Question

9．已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足S_n+n=2a_n（n∈N^*）．
（1）證明：數列{a_n+1}為等比數列，并求數列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=a_n+2n+1，數列{b_n}的前n項和為T_n．

Answer 1

分析 （1）由題意可得S_n-1+n-1=2a_n-1，與條件式相減得出遞推式，從而可得結論；求出{a_n+1}的通項即可得出{a_n}的通項公式；
（2）將b_n分成等差數列與等比數列分別求和．

解答 解：（1）證明：令n=1得a₁+1=2a₁，∴a₁=1，
當n≥2時，∵S_n+n=2a_n，∴S_n-1+n-1=2a_n-1，
兩式相減得：a_n+1=2a_n-2a_n-1，即a_n=2a_n-1+1，
∴a_n+1=2（a_n-1+1）（n≥2，n∈N^*），
∴數列{a_n+1}是以2為首項，以2為公比的等比數列．
∴a_n+1=2ⁿ，∴a_n=2ⁿ-1．
（2）b_n=a_n+2n+1=2ⁿ+2n．
∴T_n=（2+2²+2³+…+2ⁿ）+2（1+2+3+…+n）=$\frac{{2（{1-{2^n}}）}}{1-2}+2.\frac{{（{1+n}）n}}{2}$=2ⁿ⁺¹+n²+n-2．

點評 本題考查了等比數列的判定，等差數列與等比數列的前n項和公式，屬于中檔題．