Question

已知圓O₁的方程為x²+(y+1)²=6,圓O₂的圓心坐標為(2,1).若兩圓相交于A,B兩點,且|AB|=4,求圓O₂的方程.

Answer 1

(x-2)²+(y-1)²=6或(x-2)²+(y-1)²=22

設圓O₂的方程為(x-2)²+(y-1)²=r²(r>0).
∵圓O₁的方程為x²+(y+1)²=6,
∴直線AB的方程為4x+4y+r²-10=0.
圓心O₁到直線AB的距離d=,
由d²+2²=6,得=2,
∴r²-14=±8,r²=6或22.
故圓O₂的方程為(x-2)²+(y-1)²=6或(x-2)²+(y-1)²=22.
【方法技巧】求解相交弦問題的技巧
把兩個圓的方程進行相減得:x²+y²+D₁x+E₁y+F₁-(x²+y²+D₂x+E₂y+F₂)=0即(D₁-D₂)x+(E₁-E₂)y+(F₁-F₂)=0　①
我們把直線方程①稱為兩圓C₁,C₂的根軸,
當兩圓C₁,C₂相交時,方程①表示兩圓公共弦所在的直線方程;
當兩圓C₁,C₂相切時,方程①表示過圓C₁,C₂切點的公切線方程.