Question

【題目】已知函數f（x）＝ex+ax2+bx（e為自然對數的底，a，b為常數），曲線y＝f（x）在x＝0處的切線經過點A（﹣1，﹣1）

（1）求實數b的值；

（2）是否存在實數a，使得曲線y＝f（x）所有切線的斜率都不小于2？若存在，求實數a的取值集合，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）b＝1；（2）存在，{}．

【解析】

（1）求出原函數的導函數，得到，再求出，由兩點求斜率公式列式可得；

（2）記，曲線所有切線的斜率都不小于2等價于對任意的實數R恒成立，，求函數的導函數，分和分類求解的答案.

（1），

，

，又，

又曲線在處的切線經過點，

，

則；

（2）記，

曲線所有切線的斜率都不小于2等價于對任意的實數R恒成立，

，

當時，，單調遞增，

∴當時，；

時不成立，

當時，由，得，

且時，，時，，

∴函數的極小值點為，又，

，得．

∴存在實數a，使得曲線y＝f（x）所有切線的斜率都不小于2，

則實數a的集合為{}．