Question

在區間[3，5]上有零點的函數是（　　）

• A、f（x）=2xln（x-2）-3
• B、f（x）=-x³-3x+5
• C、f（x）=2^x-4
• D、f（x）=

  1

  x

  +2

Answer 1

分析：由題意得，函數的零點就是方程的根，只要解方程即可得零點，由零點存在性定理對選項逐一分析即可解決問題．

解答：解：對于選項A f（x）=2xl_n（x-2）-3
f（3）=-3＜0 f（5）=10ln3-3＞0
f（3）f（5）＜0
根據零點存在性定理，f（x）=2xl_n（x-2）-3在[3、5]上有零點，故A正確
對于選項B f（x）=-x³-3x+5
∴f′（x）=-3x²-3＜0
∴f（x）單調遞減，又f（3）=-27-9+5-31＜0
∴在[3、5]上不存在x使得f（x）=0，即沒有零點 故B不正確
對于選項C f（x）=2^x-4為單調增函數
又f（3）=8-4=4＞0
∴在[3、5]上不存在x使得f（x）=0，即沒有零點 故C不正確
對于選項D f（x）=

1

x

+2在[3、5]單調遞減
又f(5)=

11

5

＞0
∴在[3、5]上不存在x使得f（x）=0，即沒有零點 故D不正確
故選A

點評：本題主要考查函數的零點及函數的零點存在性定理，函數的零點的研究就可轉化為相應方程根的問題，屬于基礎題．