Question

（本小題滿分14分）已知函數，， 其中，是自然對數的底數．函數，．

（Ⅰ）求的最小值；

（Ⅱ）將的全部零點按照從小到大的順序排成數列，求證：

（1），其中；

（2）．

Answer 1

（Ⅰ）0（Ⅱ）證明見解析

【解析】

試題分析：（1）解決類似的問題時，注意區分函數的最值和極值.求函數的最值時，要先求函數在區間內使的點，再計算函數在區間內所有使的點和區間端點處的函數值，最后比較即得；（2）證明不等式，利用函數的單調性很常見，一定要注意選取恰當的函數及單調區間（3）不等式具有放縮功能，常常用于證明不等式，解決問題的關鍵是分析不等式兩邊的結構特點，選擇好切入點.

試題解析：（Ⅰ），當時，；當時，；所以，函數在上是減函數，在上是增函數，所以，

綜上所述，函數的最小值是0． 4分

（Ⅱ）證明：對求導得，令可得，當時，，此時；當時，，此時．所以，函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為和． 7分

因為函數在區間上單調遞增，又，所以．當時，因為，且函數的圖像是連續不斷的,所以在區間內至少存在一個零點，又在區間上是單調的，故． 9分

（2）證明：由（Ⅰ）知，，則，因此，當時，

記S=

則S 11分

由（1）知，S

當時，；

當時，S

即，S，證畢． 14分

考點：利用導數求函數最值，利用單調性及放縮法證明不等式.