Question

4．已知函數f（x）滿足f（2x-3）=4x²+2x+1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）設g（x）=f（x+a）-7x，a∈R，試求g（x）在[1，3]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用湊配法，可得f（2x-3）=4x²+2x+1=（2x-3）²+7（2x-3）+13，用x替換2x-3，可得f（x）的解析式；
（2）設g（x）=f（x+a）-7x=（x+a）²+7（x+a）+13-7x=（x+a）²+7a+13，分析給定區間與函數圖象對稱軸的關系，可得結論．

解答 解：（1）∵f（2x-3）=4x²+2x+1=（2x-3）²+7（2x-3）+13，
∴f（x）=x²+7x+13，
（2）g（x）=f（x+a）-7x=（x+a）²+7（x+a）+13-7x=（x+a）²+7a+13，
其圖象是開口朝上，且以直線x=-a為對稱軸的拋物線，
當-a≤1，即a≥-1時，x=1時，g（x）取最小值a²+9a+14，
當1＜-a＜3，即-3＜a＜-1時，x=-a時，g（x）取最小值7a+13，
當-a≥3，即a≤-3時，x=3時，g（x）取最小值a²+13a+22，
綜上可得：g（x）在[1，3]上的最小值為：$\left\{\begin{array}{l}{a}^{2}+13a+22，a≤-3\\ 7a+13，-3＜a＜-1\\{a}^{2}+9a+14，a≥-1\end{array}\right.$

點評 本題考查的知識點二次函數的圖象和性質，函數的最值及其幾何意義，函數的解析式，難度中檔．