Question

16．設函數y=sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$））的最小正周期為π，且其圖象關于直線x=$\frac{π}{12}$對稱，則在下面結論中：
①圖象關于點（$\frac{π}{6}$，0）對稱； 
②圖象關于點（$\frac{π}{3}$，0）對稱；
 ③在[0，$\frac{π}{6}$]上是增函數；
④在[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{12}$]上是增函數；
⑤由f（x₁）=f（x₂）=0可得x₁-x₂必是π的整數倍．
正確結論的編號為②④．

Answer 1

分析 根據已知求出函數解析式為y=sin（2x+$\frac{π}{3}$），進而分析函數的對稱性，單調性，周期性，可得答案．

解答 解：函數y=sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$））的最小正周期為π，
且其圖象關于直線x=$\frac{π}{12}$對稱，
則ω=2，φ=$\frac{π}{3}$，
故y=sin（2x+$\frac{π}{3}$），
圖象的對稱中心坐標為：-$\frac{π}{6}$+$\frac{1}{2}$kπ，k∈Z，
故①圖象關于點（$\frac{π}{6}$，0）對稱，錯誤；
②圖象關于點（$\frac{π}{3}$，0）對稱，正確；
函數單調遞增區間為：[-$\frac{5π}{12}$+$\frac{1}{2}$kπ，$\frac{π}{12}$+$\frac{1}{2}$kπ]，k∈Z，
故③在[0，$\frac{π}{6}$]上是增函數，錯誤；
④在[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{12}$]上是增函數，正確；
⑤由f（x₁）=f（x₂）=0可得x₁-x₂必是$\frac{1}{2}$π的整數倍，錯誤．
故答案為：②④

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了三角函數的圖象和性質，難度中檔．