Question

若實數a,b,c滿足2^a+2^b=2^a+b,2^a+2^b+2^c=2^a+b+c,則c的最大值是　　　　.

Answer 1

2-log₂3

設m=2^a,n=2^b,x=2^c,
則m+n=mn,
即+=1(m>0,n>0),
則由2^a+2^b+2^c=2^a+b+c
得mn+x=mnx,
∴(mn-1)x=mn,
∴x=,
∴x=,
又+=1≥2,
∴≤,
∴-≥-,
∴1-≥,
∴x=≤,
即2^c≤,∴c≤log₂=2-log₂3.
當且僅當m=n=2,即a=b=1時,c取得最大值為2-log₂3.