Question

已知兩個不共線的向量

OA

，

OB

的夾角為θ（θ為定值），且|

OA

|=3，|

OB

|=2．
（1）若θ=

π

3

，求

OA

•

AB

的值；
（2）若點M在直線OB上，且|

OA

+

OM

|的最小值為

3

2

，試求θ的值．

Answer 1

解法一：（1）

OA

•

AB

=

OA

•(

OB

-

OA

)=-

OA

2+

OA

•

OB

=-|

OA

|2+|

OA

||

OB

|cosθ=-9+3×2×

1

2

=-6（6分）
（2）設

OM

=λ

OB

，
則顯然λ≠0
|

OA

+

OM

|2=

OA

2+2

OA

•

OM

+

OM

2
①當λ＞0時
|

OA

+

OM

|2=|

OA

|2+2|

OA

|•|

OM

|cosθ+|

OM

|2
=9+12cosθ•λ+4λ²（*）（8分）
要使得（*）有最小值，
其對稱軸λ=-

3

2

cosθ＞0，
即cosθ＜0
故|

OA

+

OM

|2min=

144-144cos2θ

16

=

9

4

，
解得cosθ=-

3

2

（10分）
又0°≤θ≤180°
∴θ=150°（12分）
②當λ＜0時
|

OA

+

OM

|2=|

OA

|2-2|

OA

|•|

OM

|cosθ+|

OM

|2
=9+12cosθ•λ+4λ²（#）
要使得（#）有最小值，
其對稱軸λ=-

3

2

cosθ＜0，
即cosθ＞0
故|

OA

+

OM

|2min=

144-144cos2θ

16

=

9

4

，
解得cosθ=

3

2

又0°≤θ≤180°
∴θ=30°（15分）
綜上所述，θ=30°或150°（16分）
法二：以O為坐標原點，OB方向為X軸正方向，建立平面直角坐標系，
則A（3cosθ，3sinθ），B（2，0）
（1）當θ=

π

3

時，

OA

=(

3

2

，

3 3

2

)，

AB

=(

1

2

，-

3 3

2

)（3分）
∴

OA

•

AB

=

3

4

-

27

4

=-6（6分）
（2）設

OM

=(2λ，0)，
則

OA

+

OM

=(3cosθ+2λ，3sinθ)（8分）
|

OA

+

OM

|2=(3cosθ+2λ)2+9sin2θ=4λ2+12cosθ•λ+9（10分）
當λ=-

3

2

cosθ時，
|

OA

+

OM

|2min=

144-144cos2θ

16

=

9

4

解得cosθ=±

3

2

（14分）
又0°≤θ≤180°
∴θ=30°或150°（16分）