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已知兩個不共線的向量
a
，
b
，它們的夾角為θ，且|
a
|=3，|
b
|=1，x為正實數．
（1）若
a
+2
b
與
a
-4
b
垂直，求tanθ；
（2）若θ=
π
6
，求|x
a
-
b
|的最小值及對應的x的值，并判斷此時向量
a
與x
a
-
b
是否垂直？
分析：（1）利用數量積運算、同角三角函數的基本關系式即可得出；
（2）利用數量積的性質和二次函數的單調性即可得出．
解答：解：（1）∵
a
+2
b
與
a
-4
b
垂直，∴(
a
+2
b
)•(
a
-4
b
)=0，
∴
a
2-2
a
•
b
-8
b
2=0，
∴32-2×3×1×cosθ-8×12=0，∴cosθ=
1
6
．
又θ∈（0，π），
∴sinθ=
1-cos2θ
=
35
6
，
∴tanθ=
sinθ
cosθ
=
35
．
（2）|x
a
-
b
|=
(x
a
-
b
)2
=
x2
a
2-2x
a
•
b
+
b
2
=
9(x-
3
6
)2+
1
4
，
故當x=
3
6
時，|x
a
-
b
|取得最小值為
1
2
，
此時
a
•(x
a
-
b
)=x
a
2-
a
•
b
=
3
6
×9-3×1×cos
π
6
=0，
故向量
a
與x
a
-
b
垂直．
點評：熟練掌握數量積運算、同角三角函數的基本關系式、數量積的性質和二次函數的單調性是解題的關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知兩個不共線的向量a，b滿足a+2xb=xa+yb，那么實數x，y的值分別是（　　）
A、0，0B、1，2C、0，1D、2，1

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知兩個不共線的向量
a
，
b
滿足
a
=(1，
3
)，
b
=(cosθ，sinθ)(θ∈R)，
（1）若2
a
-
b
與
a
-7
b
垂直，求向量
a
與
b
的夾角；
（2）當θ∈[0，
π
2
]時，若存在兩個不同的θ使得|
a
+
3
b
|=|m
a
|成立，求正數m的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知兩個不共線的向量
a
，
b
，它們的夾角為θ，且|
a
|=3，|
b
|=1，若
a
+
b
與
a
-4
b
垂直，則sin(θ+
π
6
)=
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知兩個不共線的向量
a
，
b
的夾角為θ，且|
a
|=3，|
b
|=1，x為正實數．
（1）若
a
+2
b
與
a
-4
b
垂直，求tanθ；
（2）若θ=
π
6
，求|x
a
-
b
|的最小值及對應的x的值，并指出此時向量
a
與x
a
-
b
的位置關系；
（3）若θ為銳角，對于正實數m，關于x的方程|x
a
-
b
|=|m
a
|有兩個不同的正實數解，且x≠m，求m的取值范圍．

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