Question

已知兩個不共線的向量

a

，

b

的夾角為θ，且|

a

|=3，|

b

|=1，x為正實數．
（1）若

a

+2

b

與

a

-4

b

垂直，求tanθ；
（2）若θ=

π

6

，求|x

a

-

b

|的最小值及對應的x的值，并指出此時向量

a

與x

a

-

b

的位置關系；
（3）若θ為銳角，對于正實數m，關于x的方程|x

a

-

b

|=|m

a

|有兩個不同的正實數解，且x≠m，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用

a

+2

b

與

a

-4

b

垂直，（

a

+2

b

）•（

a

-4

b

）=0，可得，化簡，即可求出tanθ；
（2）將模平方，結合二次函數的性質，可求|x

a

-

b

|的最小值及對應的x的值，利用數量積公式，可確定向量

a

與x

a

-

b

的位置關系；
（3）方程|x

a

-

b

|=|m

a

|，等價于9x²-3cosθx+1-9m²=0，利用關于x的方程|x

a

-

b

|=|m

a

|有兩個不同的正實數解，建立不等式，即可確定結論．

解答：解：（1）∵

a

+2

b

與

a

-4

b

垂直，
∴（

a

+2

b

）•（

a

-4

b

）=0
∴

a

2-2

a

•

b

-8

b

2=0
∵|

a

|=3，|

b

|=1，
∴9-6cosθ-8=0
∴cosθ=

1

6

∵θ∈[0，π]
∴sinθ=

35

6

∴tanθ=

sinθ

cosθ

=

35

；
（2）θ=

π

6

，|x

a

-

b

|²=9x2-

3

x+1
∴x=-

- 3

18

=

3

18

時，|x

a

-

b

|的最小值為

132

12

此時

a

•（x

a

-

b

）=9x-3•

3

2

=0，
∴

a

與x

a

-

b

垂直；
（3）方程|x

a

-

b

|=|m

a

|，等價于9x²-3cosθx+1-9m²=0
∵關于x的方程|x

a

-

b

|=|m

a

|有兩個不同的正實數解，
∴

9cos2θ-36(1-9m2)＞0 cosθ 3 ＞0 1-9m2 9 ＞0

∴-

1

3

＜m＜-

3

6

或

3

6

＜m＜

1

3

．

點評：本題考查向量的數量積公式，考查方程根的研究，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．