Question

已知兩個不共線的向量

a

，

b

滿足

a

=(1，

3

)，

b

=(cosθ，sinθ)(θ∈R)，
（1）若2

a

-

b

與

a

-7

b

垂直，求向量

a

與

b

的夾角；
（2）當θ∈[0，

π

2

]時，若存在兩個不同的θ使得|

a

+

3

b

|=|m

a

|成立，求正數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用條件2

a

-

b

與

a

-7

b

垂直，建立方程關系，先求

a

•

b

，然后求向量夾角．
（2）利用三角函數的性質得到關于θ的方程，結合三角函數的圖象進行化簡求范圍．

解答：解：（1）∵2

a

-

b

與

a

-7

b

垂直，∴（2

a

-

b

）•（

a

-7

b

）=0，
即2

a

2+7

b

2-15

a

?

b

=0
∵

a

=(1，

3

)，

b

=(cosθ，sinθ)(θ∈R)，
∴|

a

|=2，|

b

|=1，
即2×22+7-15

a

?

b

=0，
解得

a

?

b

=1，
∴設向量

a

與

b

的夾角為θ，則cos?θ=

a ? b

| a |?| b |

=

1

2×1

=

1

2

，
∴θ=

π

3

．
（2）∵

a

=(1，

3

)，

b

=(cosθ，sinθ)(θ∈R)，
∴|

a

|=2，|

b

|=1，

a

?

b

=cos?θ+

3

sin?θ=2sin?(θ+

π

6

)，
由|

a

+

3

b

|=|m

a

|，得

a

2+2

3

a

?

b

+3

b

2=m2

a

2，
即4m2=7+4

3

sin?(θ+

π

6

)，
∵θ∈[0，

π

2

]，
∴

π

6

≤θ+

π

6

≤

2π

3

，
則要存在兩個不同的θ使得|

a

+

3

b

|=|m

a

|成立，
則

π

3

≤θ+

π

6

≤

2π

3

且θ+

π

6

≠

π

2

此時

3

2

≤sin?(θ+

π

6

)＜1，
∴13≤7+4

3

sin?(θ+

π

6

)＜7+4

3

，
即13≤4m2＜7+4

3

，
∴

13

4

≤m2＜

7+4 3

4

=(

2+ 3

2

)2，
∵m＞0，
∴

13

2

≤m＜

2+ 3

2

．

點評：本題主要考查平面向量的數量積以及利用向量和三角函數之間的關系的化簡和求值，綜合性較強，運算量較大．