Question

16．設(shè)$f（x）={sin^2}x-\sqrt{3}cosxcos（{x+\frac{π}{2}}）$，則f（x）在$[{0，\frac{π}{2}}]$上的單調(diào)遞增區(qū)間為[0，$\frac{π}{3}$]．

Answer 1

分析 根據(jù)三角函數(shù)的輔助角公式進行化簡結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)進行求解即可．

解答 解：$f（x）={sin^2}x-\sqrt{3}cosxcos（{x+\frac{π}{2}}）$=sin²x+$\sqrt{3}$sinxcosx
=$\frac{1}{2}$（1-cos2x）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
得kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
∵x∈$[{0，\frac{π}{2}}]$，
∴當(dāng)k=0時，-$\frac{π}{6}$≤x≤$\frac{π}{3}$，
即0≤x≤$\frac{π}{3}$，
即函數(shù)f（x）在$[{0，\frac{π}{2}}]$上的單調(diào)遞增區(qū)間為[0，$\frac{π}{3}$]，
故答案為：[0，$\frac{π}{3}$]．

點評 本題主要考查三角函數(shù)圖象和性質(zhì)的考查，利用輔助角公式進行化簡是解決本題的關(guān)鍵．