Question

5．在△ABC中，2AB=3AC，∠A=$\frac{π}{3}$，∠BAC的平分線交邊BC于點D，|AD|=1，則（　�。�

• A． AB•AC=$\sqrt{2}$AB+AC
• B． AB+AC=$\sqrt{2}$AB•AC
• C． AB•AC=$\sqrt{3}$AB+AC
• D． AB+AC=$\sqrt{3}$AB•AC

Answer 1

分析 令AB=3k，AC=2k，在△ABC中，由余弦定理得BC、cosB 由∠BAC的平分線交邊BC于點D的DB，在△ABD中，由余弦定理得AD²=AB²+BD²-2AB•BDcosB，解得k即可．

解答 解：如圖所示，令AB=3k，AC=2k，在△ABC中，由余弦定理得BC²=AC²+AB²-2AB•ACcosA=7k²．
⇒BC=$\sqrt{7}k$．
由余弦定理得AC²=BC²+AB²-2AB•BCcosB⇒cosB=$\frac{2}{\sqrt{7}}$．
∵∠BAC的平分線交邊BC于點D∴$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}=\frac{3}{2}$，∴DB=$\frac{3}{5}\sqrt{7}k$．
在△ABD中，由余弦定理得AD²=AB²+BD²-2AB•BDcosB=1，解得k=$\frac{5}{6\sqrt{3}}$
經驗證D滿足，故選D．

點評 本題考查了解三角形，余弦定理的運用是關鍵，屬于中檔題．