Question

已知向量

m

=（

2

cosx，-1），

n

=（

6

sinx，-

1

2

），x∈R，函數f（x）=

m

 • (

n

-

m

)+

3

2

．
（1）求函數f（x）的最小正周期及單調遞增區間；
（2）已知a，b，c分別是△ABC的內角A、B、C的對邊，a=

7

，c=2，且f（A）是f（x）在[0，  

π

2

]上的最大值，求b的值和△ABC的面積．

Answer 1

考點：余弦定理,三角函數的周期性及其求法,正弦函數的單調性

專題：解三角形

分析：（1）由兩向量的坐標，利用平面向量的數量積運算法則化簡f（x）解析式，整理為一個角的正弦函數，找出ω的值，代入周期公式即可求出最小正周期；由正弦函數的單調性求出f（x）的單調遞增區間即可；
（2）由x的范圍求出這個角的范圍，利用正弦函數的值域確定出f（x）取得最大值時x的值，確定出A的度數，利用余弦定理列出關系式，把a，c，cosA的值代入求出b的值，進而確定出三角形ABC面積．

解答： 解：（1）∵

m

=（

2

cosx，-1），

n

=（

6

sinx，-

1

2

），
∴f（x）=

m

•（

n

-

m

）+

3

2

=

m

•

n

-

m

²+

3

2

=2

3

sinxcosx+

1

2

-2cos²x-1+

3

2

=

3

sin2x-cos2x=2sin（2x-

π

6

），
∵ω=2，∴最小正周期T=π；
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，得到kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，k∈Z，
∴f（x）的遞增區間為[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，k∈Z；
（2）∵0≤x≤

π

2

，∴-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

，
∴當2x-

π

6

=

π

2

，即x=

π

3

時，f（x）取得最大值，
∴A=

π

3

，
由a²=b²+c²-2bccosA，得7=b²+4-2b，
整理得：b²-2b-3=0，
解得：b=3或b=-1（舍），
則△ABC的面積為S=

1

2

bcsinA=

1

2

×3×2×

3

2

=

3 3

2

．

點評：此題考查了余弦定理，三角形面積公式，以及平面向量的數量積運算，熟練掌握余弦定理是解本題的關鍵．