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已知F(X)是奇函數,且有f(x+1)=-
1
f(x)
,當x∈(0,
1
2
)時,f(x)=8x
(1)求f(-
1
3
),f(
2
3
),f(
5
3
)的值;
(2)當2k+
1
2
<x<2k+1,(k∈Z)時,求f(x)的解析式;
(3)是否存在k∈N*,使2k+
1
2
<x<2k+1時,不等式log8f(x)>x2-(k+3)x-k+2有解?若存在,求出k的值及對應的不等式的解;若不存在,請說明理由.
考點:函數與方程的綜合運用,抽象函數及其應用
專題:函數的性質及應用
分析:(1)f(x)是奇函數,f(x+1)=-
1
f(x)
,求出函數的周期,通過已知條件轉化求解f(-
1
3
),f(
2
3
),f(
5
3
)的值.
(2)通過函數的奇偶性以及函數的周期性,求出x∈(
1
2
,1)
時,函數的解析式,即可求解x∈(2k+
1
2
,2k+1)
時,的解析式.
(3)利用(2)函數的解析式f(x)=8x-2k-1,轉化不等式log8f(x)>x2-(k+3)x-k+2為x-2k-1>x2-(k+3)x-k+2,推出x2-(k+4)x+k+3<0,求出x 的范圍,驗證①當k=1時,
5
2
<x<3
;②當k=2時,
9
2
<x<5
;③當k>2時,不等式無解.
解答: 解:(1)f(x)是奇函數,且有f(x+1)=-
1
f(x)

f(x+2)=-
1
f(x+1)
=-
1
-
1
f(x)
=f(x),
所以函數的周期為2,
當x∈(0,
1
2
)時,f(x)=8x
f(-
1
3
)=-f(
1
3
)=-8
1
3
=-2;
f(
2
3
)=-
1
f(-
1
3
)
=-
1
-2
=2;
f(
5
3
)=f(2-
1
3
)=f(-
1
3
)=-2;       …(4分)
(2)由f(x+1)=-
1
f(x)
,f(x+2)=-
1
f(x+1)
=-
1
-
1
f(x)
=f(x),
所以f(x)是以2為周期的奇函數.…6分
現考慮x∈(
1
2
,1)
時,f(x)=-f(-x)=-(-
1
f(-x+1)
)=
1
f(1-x)
=8x-1,…(8分)
則:x∈(2k+
1
2
,2k+1)
時,f(x)=f(x-2k)=8x-2k-1        …(10分)
(3)∵2k+
1
2
<x<2k+1,∴f(x)=8x-2k-1
代入得:x-2k-1>x2-(k+3)x-k+2,
⇒x2-(k+4)x+k+3<0
⇒1<x<k+3,驗算可知:…(13分)
①當k=1時,
5
2
<x<3

②當k=2時,
9
2
<x<5

③當k>2時,不等式無解;…(16分)
點評:本題考查函數與方程的綜合應用,抽象函數的應用,考查分析問題解決問題的能力,轉化思想的應用.
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x
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2
2
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2

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31
2
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1
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π
2
,x∈R)的部分圖象如圖所示,則函數表達式(  )
A、y=-4sin(
π
8
x-
π
4
B、y=4sin(
π
8
x-
π
4
C、y=-4sin(
π
8
x+
π
4
D、y=4sin(
π
8
x+
π
4

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