Question

如圖，在空間四邊形ABCD中，兩條對角線AC，BD互相垂直，且長度分別為4和6，平行于這兩條對角線的平面與邊AB，BC，CD，DA分別相交于點E，F，G，H，記四邊形EFGH的面積為y，設

BE

AB

=x，則（　　）

• A、函數y=f（x）的值域為（0，4]
• B、函數y=f（x）的最大值為8
• C、函數y=f（x）在(0，

  2

  3

  )上單調遞減
• D、函數y=f（x）滿足f（x）=f（1-x）

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用,直線與平面平行的性質

專題：函數的性質及應用,空間位置關系與距離,簡易邏輯

分析：根據空間四邊形的性質證明四邊形EFGH為矩形，然后根據比例關系求出函數f（x）的表達式，結合一元二次函數的性質進行判斷即可．

解答： 解：∵AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，
∴AC∥EF．AC∥HG，BD∥EH．BD∥FG，
則四邊形EFGH為平行四邊形，
∵兩條對角線AC，BD互相垂直，
∴EH⊥EF，
則四邊形EFGH為矩形，
∵

BE

AB

=x，
∴由

EH

BD

=

AE

AB

=

AB-BE

AB

=1-

BE

AB

=1-x，
即EH=（1-x）BD=6（1-x），
同理

EF

AC

=

BE

AB

=x，
則EF=x•AC=4x，
則四邊形EFGH的面積為y=EH•EF=4x•6（1-x）=24（x-x²）=-24（x-

1

2

）²+6，
∵x∈（0，1），
∴當x=

1

2

時，函數取得最大值6，故A，B錯誤．
函數的對稱軸為x=

1

2

，則函數在(0，

2

3

)上不是單調函數，故C錯誤．
∵函數的對稱軸為x=

1

2

，
∴函數y=f（x）滿足f（x）=f（1-x），故D正確，
故選：D

點評：本題主要考查空間四邊形和函數的綜合以及與一元二次函數有關的性質是考查，綜合性較強，涉及的知識點較多，有一點的難度．