Question

已知函數f（x）=log₂（a-

2x

1+x

）（a＞0，b≠0）為奇函數．
（1）寫出單調區間；
（2）解不等式f（x-1）+f（x）＞0．

Answer 1

考點：奇偶性與單調性的綜合

專題：函數的性質及應用

分析：（1）由f（0）=0，求得a=1，可得f（x）=log₂（-1+

2

1+x

）．由-1+

2

1+x

＞0，求得函數f（x）的定義域為（-1，1），且函數在（-1，1）上單調遞減，由此可得結論．
（2）不等式即f（x-1）＞f（-x），可得

-1＜x-1＜1 -1＜-x＜1 x-1＜-x

，由此求得不等式的解集．

解答： 解：（1）由于函數f（x）=log₂（a-

2x

1+x

）（a＞0，b≠0）為奇函數，故有f（0）=log₂a=0，∵a=1，
∴f（x）=log₂（1-

2x

1+x

）=log₂（-1+

2

1+x

）．
由-1+

2

1+x

＞0，求得-1＜x＜1，故函數f（x）的定義域為（-1，1），且函數在（-1，1）上單調遞減，
故函數的減區間為（-1，1）．
（2）不等式f（x-1）+f（x）＞0，即f（x-1）＞-f（x）=f（-x），∴

-1＜x-1＜1 -1＜-x＜1 x-1＜-x

．
求得0＜x＜

1

2

，故不等式的解集為（0，

1

2

）．

點評：本題主要求函數的單調性和奇偶性的應用，體現了等價轉化的數學思想，屬于基礎題．