Question

已知函數f（x）=（ax+3）e^x（a≠0），其中e是自然對數的底數．
（1）若函數圖象在x=0處的切線方程為2x+y-3=0，求a的值；
（2）求函數f（x）的單調區間；
（3）設函數g（x）=

1

2

x-lnx+t，當a=-1時，存在x∈（0，+∞）使得f（x）≤g（x）成立，求t的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,利用導數研究函數的單調性,利用導數求閉區間上函數的最值

專題：計算題,函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：（1）求導f′（x）=（ax+3+a）e^x，從而由題意得f′（0）=（3+a）e⁰=-2；從而求a；
（2）由導數f′（x）=（ax+3+a）e^x的正負討論函數的單調區間；
（3）當a=-1時，f（x）=（-x+3）e^x，從而化f（x）≤g（x）為t≥（-x+3）e^x-

1

2

x+lnx；令F（x）=（-x+3）e^x-

1

2

x+lnx，從而化為函數的最值問題．

解答： 解：（1）∵f（x）=（ax+3）e^x，
∴f′（x）=（ax+3+a）e^x，
又∵函數圖象在x=0處的切線方程為2x+y-3=0，
∴f′（0）=（3+a）e⁰=-2；
解得，a=-5；
（2）∵f′（x）=（ax+3+a）e^x，
∴①當a＞0時，解f′（x）＞0得，x＞-

3+a

a

；
故函數f（x）在（-∞，-

3+a

a

）上是減函數，在（-

3+a

a

，+∞）上是增函數；
②當a＜0時，解f′（x）＞0得，x＜-

3+a

a

；
故函數f（x）在（-∞，-

3+a

a

）上是增函數，在（-

3+a

a

，+∞）上是減函數；
（3）當a=-1時，f（x）=（-x+3）e^x，
f（x）≤g（x）可化為t≥（-x+3）e^x-

1

2

x+lnx；
令F（x）=（-x+3）e^x-

1

2

x+lnx，
則F′（x）=（-x+2）e^x+

1

2x

（2-x）=（2-x）（e^x+

1

2x

）；
故F（x）在（0，2）上單調遞增，在（2，+∞）上單調遞減，
且當x→+∞時，F（x）→-∞；
故對任意t，都存在x∈（0，+∞）使得f（x）≤g（x）成立，
故t∈R．

點評：本題考查了導數的綜合應用及存在性問題的處理方法應用，屬于中檔題．