Question

9．若函數f（x）對任意x，y∈R滿足f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y），則下列關于函數奇偶性的說法一定正確的是（　　）

• A． 是偶函數但不是奇函數
• B． 是奇函數但不是偶函數
• C． 是非奇非偶函數
• D． 可能是奇函數也可能是偶函數

Answer 1

分析 在抽象表達式中令x=y=0代入表達式，再分類討論在抽象表達式中令x=0，y不動，結合（1）的結論即可獲得f（-y）與f（y）之間的關系，從而獲得函數的奇偶性．

解答 解：令x=y=0則有f（0）+f（0）=2f（0）f（0），
則2f（0）=f（0）f（0），
當f（0）=0時，再令x=0
則有f（y）+f（-y）=2f（0）f（y）=0
所以f（-y）=-f（y），
所以y=f（x）是奇函數．
當f（0）≠0，則f（0）=1．
再令x=0
則有f（y）+f（-y）=2f（0）f（y），
所以f（-y）=f（y），
所以y=f（x）是偶函數．
故選：D

點評 本題考查了抽象函數的問題以及函數的奇偶性，關鍵是賦值，屬于中檔題．