Question

已知函數f（x）=2^x-

a

2x

．
（1）若a=1，試用列表法作出f（x）的大致圖象；
（2）討論f（x）的奇偶性，并加以證明；
（3）當a＞0時，判斷f（x）在定義域上的單調性，并用定義證明．

Answer 1

考點：函數圖象的作法,函數單調性的判斷與證明,函數奇偶性的判斷

專題：函數的性質及應用

分析：（1）列表，描點，連線即可．
（2）根據奇函數和偶函數的定義，求出a的值即可，
（3）利用函數的單調性的定義，加以證明即可．

解答：解：（1）當a=1時，f（x）=2^x-

1

2x

．
列表：

x	…	-2	-1	0	1	2	…
f（x）	…	- 15 4	-1.5	0	1.5	15 4	…

描點，連線如圖所示．
（2）若函數為奇函數，則f（0）=0，
∴f（0）=1-a=0，
解得a=1，
∵f（-x）=2^-x-

a

2-x

=-a2^x+2^-x，
當a=1時，f（-x）=-（2^x-2^-x）=-f（x），
∴函數為奇函數，
若函數為偶函數，則f（-x）=f（x）
∴2^-x-

a

2-x

=2^x-

a

2x

．
∴（1+a）=（1+a）2^2x，
∴1+a=0，
解得a=-1，
當a≠±1時為非奇非偶函數．
（3）設x₁，x₂，∈R，且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=2x1-a2-x1-2x2+a2-x2=）=（2x1-2x2）+a（2-x2-2x1），
∵x₁＜x₂，則-x₁＞-x₂，函數y=2^x，為增函數，
∴2x1-2x2＜0，2-x2-2x1＜0，
又a＞0，
∴（2x1-2x2）+a（2-x2-2x1）＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即函數為增函數．

點評：本題主要考查了函數圖象的作法，函數的奇偶性和單調性，屬于基礎題．