Question

在平面直角坐標系xOy中，P是直線2x+2y-1=0上的一點，Q是射線OP上的一點，滿足|OP|•|OQ|=1．
（Ⅰ）求Q點的軌跡；
（Ⅱ）設點M（x，y）是（Ⅰ）中軌跡上任意一點，求x+7y的最大值．

Answer 1

考點：簡單曲線的極坐標方程,軌跡方程

專題：計算題,坐標系和參數方程

分析：（Ⅰ）設射線OP的極坐標方程為ρ=

1

2cosθ+2sinθ

，依題意可知，動點Q的極坐標為（ρ，θ），P（ρ′，a），由|OP|•|OQ|=1，可得ρ′•ρ=1，即可求出Q點的軌跡；
（Ⅱ）設M（1+

2

cosα，1+

2

sinα），可得x+7y=1+

2

cosα+7+7

2

sinα=8+10sin（α+γ），即可求x+7y的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）設射線OP的極坐標方程為ρ=

1

2cosθ+2sinθ

，
依題意可知，動點Q的極坐標為（ρ，θ），P（ρ′，a），由|OP|•|OQ|=1，可得ρ′•ρ=1．
∴ρ=

1

ρ′

=2cosθ+2sinθ，
∴ρ²=2ρcosθ+2ρsinθ，
∴x²+y²=2x+2y，
∴（x-1）²+（y-1）²=2，
∴Q點的軌跡是以（1，1）為圓心，

2

為半徑的圓；
（Ⅱ）設M（1+

2

cosα，1+

2

sinα），
∴x+7y=1+

2

cosα+7+7

2

sinα=8+10sin（α+γ），
∴x+7y的最大值為18．

點評：本題考查極坐標與參數方程，考查軌跡方程，考查學生的計算能力，比較基礎．