Question

已知f（x）=2

3

sinx+

sin2x

sinx

．
（I）求f（x）的周期，并求x∈（0，π）時的單調增區(qū)間；
（II）在△ABC中，a、b、分別是角A，B，C所對的邊，若A=

π

3

，且a=

3

，求

AB

•

AC

的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）將函數(shù)解析式第二項分子利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡，約分后兩項提取4，利用特殊角的三角函數(shù)值及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，找出ω的值，代入周期公式即可求出函數(shù)的周期，根據(jù)正弦函數(shù)的增區(qū)間列出關于x的不等式，求出不等式的解集得到x的范圍，找出與已知x的范圍的公共部分，即可得到f（x）的單調增區(qū)間；
（II）由A的度數(shù)求出sinA及cosA的值，再由a的值，利用正弦定理表示出c與b，然后利用平面向量的數(shù)量積運算法則化簡所求的式子，將表示出的c與b代入，并將sinA，cosA及a的值代入，整理后根據(jù)A的度數(shù)，求出B+C的度數(shù)，用B表示出C，代入化簡后的式子中，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡，再利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡，最后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，由正弦函數(shù)的值域，即可得到所求式子的最大值．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=2

3

sinx+2cosx=4sin（x+

π

6

），…（2分）
∵ω=1，∴T=2π，
令2kπ-

π

2

≤x+

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），解得：kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

（k∈Z），
當k=0時，-

π

3

≤x≤

π

6

；當k=1時，

2π

3

≤x≤

7π

6

，
∵x∈（0，π），
則f（x）的單調增區(qū)間為（0，

π

6

]∪[

2π

3

，π）；…（6分）
（Ⅱ）∵A=

π

3

，a=

3

，
∴由正弦定理

a

sinA

=

c

sinC

得：c=

asinC

sinA

，同理可得b=

asinB

sinA

，
∵sinA=

3

2

，cosA=

1

2

，a=

3

，C=

2π

3

-B，
∴

AB

•

AC

=cbcosA=

a2sinBsinC

sin2A

•cosA=2sinBsin（

2π

3

-B）
=

3

sinBcosB+sin²B=

3

2

sin2B+

1

2

（1-cos2B）=

1

2

+sin（2B-

π

6

），
∴當2B-

π

6

=

π

2

，即B=

π

3

時，

AB

•

AC

最大值為

3

2

．…（14分）

點評：此題考查了正弦定理，二倍角的正弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的單調性，正弦函數(shù)的定義域與值域，平面向量的數(shù)量積運算法則，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．