Question

已知f（x）=2sin²ωx+2

3

sinωxsin（

π

2

-ωx）（ω＞0）最小正周期為π
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間及對(duì)稱中心坐標(biāo)；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，

2π

3

]上的取值范圍．

Answer 1

（1）f（x）=2sin²ωx+2

3

sinωxsin（

π

2

-ωx）=1-cos2ωx+

3

sin2ωx=2sin（2ωx-

π

6

）+1，
∵T=

2π

ω

=π，∴ω=1，∴f（x）=2sin（2x-

π

6

）+1．
令  2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，可得 kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，k∈z，故函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，k∈z．
令2x-

π

6

=kπ，k∈z，解得 x=

kπ

2

+

π

12

，k∈z，故函數(shù)的對(duì)稱中心為 （

kπ

2

+

π

12

，0），k∈z．
（2）∵0≤x≤

2π

3

，∴-

π

6

≤2x-

π

6

≤

7π

6

，∴-

1

2

≤sin（2x-

π

6

）≤1，∴0≤f（x）≤3，
故函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，

2π

3

]上的取值范圍是[0，3]．