Question

已知f（x）=2sin²ωx+2sinωxsin（-ωx）（ω＞0）最小正周期為π
（1）求函數f（x）的單調遞增區間及對稱中心坐標；
（2）求函數f（x）在區間[0，]上的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用三角函數的恒等變換求得f（x）的解析式為 2sin（2ωx-）+1，由周期求得ω=1，可得f（x）=
2sin（2x-）+1，由此求得函數的增區間以及對稱中心．
（2）由0≤x≤，可得≤2x-≤，得到-≤sin（2x- ）≤1，由此求得 f（x） 的值域．
解答：解：（1）f（x）=2sin²ωx+2sinωxsin（-ωx）=1-cos2ωx+sin2ωx=2sin（2ωx-）+1，
∵T==π，∴ω=1，∴f（x）=2sin（2x-）+1．
令  2kπ-≤2x-≤2kπ+，k∈z，可得 kπ-≤x≤kπ+，k∈z，故函數的增區間為[kπ-，kπ+]，k∈z．
令2x-=kπ，k∈z，解得 x=+，k∈z，故函數的對稱中心為 （ +，0），k∈z．
（2）∵0≤x≤，∴-≤2x-≤，∴-≤sin（2x- ）≤1，∴0≤f（x）≤3，
故函數f（x）在區間[0，]上的取值范圍是[0，3]．
點評：本題主要考查三角函數的恒等變換及化簡求值，復合三角函數的單調性，正弦函數的定義域和值域，屬于中檔題．