Question

已知f（x）=2sin²ωx+2

3

sinωxsin（

π

2

-ωx）（ω＞0）最小正周期為π
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間及對(duì)稱中心坐標(biāo)；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，

2π

3

]上的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用三角函數(shù)的恒等變換求得f（x）的解析式為 2sin（2ωx-

π

6

）+1，由周期求得ω=1，可得f（x）=
2sin（2x-

π

6

）+1，由此求得函數(shù)的增區(qū)間以及對(duì)稱中心．
（2）由0≤x≤

2π

3

，可得≤2x-

π

6

≤

7π

6

，得到-

1

2

≤sin（2x-

π

6

）≤1，由此求得 f（x） 的值域．

解答：解：（1）f（x）=2sin²ωx+2

3

sinωxsin（

π

2

-ωx）=1-cos2ωx+

3

sin2ωx=2sin（2ωx-

π

6

）+1，
∵T=

2π

ω

=π，∴ω=1，∴f（x）=2sin（2x-

π

6

）+1．
令  2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，可得 kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，k∈z，故函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，k∈z．
令2x-

π

6

=kπ，k∈z，解得 x=

kπ

2

+

π

12

，k∈z，故函數(shù)的對(duì)稱中心為 （

kπ

2

+

π

12

，0），k∈z．
（2）∵0≤x≤

2π

3

，∴-

π

6

≤2x-

π

6

≤

7π

6

，∴-

1

2

≤sin（2x-

π

6

）≤1，∴0≤f（x）≤3，
故函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，

2π

3

]上的取值范圍是[0，3]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．