Question

【題目】“城中觀海”是近年來國內很多大中型城市內澇所致的現象，究其原因，除天氣因素、城市規劃等原因外，城市垃圾雜物也是造成內澇的一個重要原因．暴雨會沖刷城市的垃圾雜物一起進入下水道，據統計，在不考慮其它因素的條件下，某段下水道的排水量V（單位：立方米/小時）是雜物垃圾密度x（單位：千克/立方米）的函數．當下水道的垃圾雜物密度達到2千克/立方米時，會造成堵塞，此時排水量為0；當垃圾雜物密度不超過0.2千克/立方米時，排水量是90立方米/小時；研究表明，0.2≤x≤2時，排水量V是垃圾雜物密度x的一次函數．
（1）當0≤x≤2時，求函數V（x）的表達式；
（2）當垃圾雜物密度x為多大時，垃圾雜物量（單位時間內通過某段下水道的垃圾雜物量，單位：千克/小時）f（x）=xV（x）可以達到最大，求出這個最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵當垃圾雜物密度不超過0.2千克/立方米時，排水量是90立方米/小時，

∴V（x）=90，0≤x≤0.2，

∵0.2≤x≤2時，排水量V是垃圾雜物密度x的一次函數，

∴設為V（x）=mx+n，將（0.2，90），（2，0）代入得：

，解得m=﹣50，n=100，

∴V（x）=﹣50x+100，0.2≤x≤2，

∴

（2）解：由題意可得 ，

當0≤x≤0.2時，f（x）=90x，最大值為1.8千克/小時，

當0.2≤x≤2時，f（x）=50x（2﹣x）≤50（x=1時取等號），

∴當雜物垃圾密度x=1千克/立方米，f（x）取得最大值50千克/小時

【解析】（1）根據題意，對x進行分段求解，當0≤x≤0.2，V（x）=90，當0.2≤x≤2時，利用待定系數法，求出V（x）=﹣50x+100，最后用分段函數表示出V（x）即可；（2）表示出f（x）的解析式為分段函數，對0≤x≤0.2上的函數利用單調性求最大值，對0.2≤x≤2上的函數運用基本不等式求最大值，比較兩段的最大值，即可得到答案．